Analyse des principes des STARKs de Binius et réflexions sur leur optimisation

1 Introduction

Une des principales raisons de l'inefficacité des STARKs est que la plupart des valeurs dans les programmes réels sont assez petites, comme les index dans les boucles for, les valeurs booléennes, les compteurs, etc. Cependant, pour garantir la sécurité des preuves basées sur les arbres de Merkle, l'utilisation du codage de Reed-Solomon pour étendre les données entraîne de nombreuses valeurs redondantes supplémentaires qui occupent tout le domaine, même si la valeur originale elle-même est très petite. Pour résoudre ce problème, réduire la taille du domaine est devenu une stratégie clé.

La largeur de codage des STARKs de première génération est de 252 bits, celle des STARKs de deuxième génération est de 64 bits, et celle des STARKs de troisième génération est de 32 bits, mais la largeur de codage de 32 bits présente encore un grand nombre d'espaces gaspillés. En revanche, le domaine binaire permet d'opérer directement sur les bits, rendant le codage compact et efficace sans aucun espace gaspillé, c'est-à-dire les STARKs de quatrième génération.

Comparé aux domaines finis récemment découverts comme Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, la recherche sur les domaines binaires remonte aux années 1980. Actuellement, les domaines binaires sont largement utilisés en cryptographie, des exemples typiques incluent :

• Standard de chiffrement avancé ( AES ), basé sur le domaine F28;

• Galois Code de Message d'Authentification ( GMAC ), basé sur le domaine F2128;

• Code QR, utilisant le codage Reed-Solomon basé sur F28;

• Les protocoles FRI et zk-STARK d'origine, ainsi que la fonction de hachage Grøstl qui a atteint la finale de SHA-3, basée sur le domaine F28, constituent un algorithme de hachage très adapté à la récursivité.

Lorsqu'on utilise des domaines plus petits, l'opération d'extension de domaine devient de plus en plus importante pour garantir la sécurité. Le domaine binaire utilisé par Binius dépend entièrement de l'extension de domaine pour assurer sa sécurité et sa faisabilité. La plupart des polynômes impliqués dans les calculs de Prover n'ont pas besoin d'entrer dans l'extension de domaine, mais peuvent simplement fonctionner dans le domaine de base, permettant ainsi une grande efficacité dans de petits domaines. Cependant, les vérifications de points aléatoires et les calculs FRI doivent encore pénétrer dans un domaine d'extension plus grand pour garantir la sécurité requise.

Lors de la construction d'un système de preuve basé sur le domaine binaire, deux problèmes pratiques existent : lors du calcul de la représentation de trace dans les STARKs, la taille du domaine utilisée doit être supérieure au degré du polynôme ; lors de l'engagement dans l'arbre de Merkle des STARKs, un codage de Reed-Solomon doit être effectué, et la taille du domaine utilisée doit être supérieure à la taille après extension du codage.

Binius a proposé une solution innovante qui traite ces deux problèmes séparément et réalise la représentation des mêmes données de deux manières différentes : d'abord, en utilisant des polynômes multivariés (, spécifiquement des polynômes multilinaires ), à la place des polynômes à variable unique, en représentant l'ensemble de la trajectoire de calcul par ses valeurs sur les "hypercubes" ( ; ensuite, étant donné que la longueur de chaque dimension de l'hypercube est de 2, il n'est pas possible d'effectuer une extension standard de Reed-Solomon comme avec les STARKs, mais on peut considérer l'hypercube comme un carré ), et effectuer une extension de Reed-Solomon basée sur ce carré. Cette méthode, tout en garantissant la sécurité, améliore considérablement l'efficacité de l'encodage et la performance de calcul.

2 Analyse des principes

La construction de la plupart des systèmes SNARKs actuels comprend généralement les deux parties suivantes :

• Preuve d'oracle interactive polynomiale en théorie de l'information (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP) : PIOP, en tant que système de preuve central, transforme les relations de calcul d'entrée en égalités polynomiales vérifiables. Différents protocoles PIOP permettent au prouveur d'envoyer progressivement des polynômes par l'interaction avec le vérificateur, de sorte que le vérificateur puisse vérifier si le calcul est correct en interrogeant un petit nombre de résultats d'évaluation polynomiale. Les protocoles PIOP existants incluent : PLONK PIOP, Spartan PIOP et HyperPlonk PIOP, qui traitent chacun les expressions polynomiales de manière différente, ce qui influence les performances et l'efficacité de l'ensemble du système SNARK.

• Schéma d'engagement polynomial ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ) : Le schéma d'engagement polynomial est utilisé pour prouver si l'égalité polynomiale générée par PIOP est valide. Le PCS est un outil cryptographique, grâce auquel le prouveur peut s'engager sur un certain polynôme et valider plus tard le résultat de l'évaluation de ce polynôme, tout en cachant d'autres informations sur le polynôme. Les schémas d'engagement polynomial courants incluent KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) et Brakedown, entre autres. Différents PCS ont des performances, des niveaux de sécurité et des cas d'utilisation variés.

Selon les besoins spécifiques, choisissez différents PIOP et PCS, et combinez-les avec un domaine fini ou une courbe elliptique appropriée, afin de construire des systèmes de preuve avec différentes caractéristiques. Par exemple :

• Halo2 : combinant PLONK PIOP et Bulletproofs PCS, basé sur la courbe Pasta. Halo2 est conçu avec un accent sur l'évolutivité et l'élimination de la configuration de confiance dans le protocole ZCash.

• Plonky2 : combine PLONK PIOP et FRI PCS, et est basé sur le domaine de Goldilocks. Plonky2 est conçu pour réaliser une récursion efficace. Lors de la conception de ces systèmes, le PIOP et le PCS choisis doivent correspondre au champ fini ou à la courbe elliptique utilisés, afin de garantir la validité, la performance et la sécurité du système. Le choix de ces combinaisons influence non seulement la taille des preuves SNARK et l'efficacité de la vérification, mais détermine également si le système peut atteindre la transparence sans configuration de confiance préalable, et s'il peut prendre en charge des fonctions d'extension telles que des preuves récursives ou des preuves agrégées.

Binius : HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + domaine binaire. Plus précisément, Binius comprend cinq technologies clés pour réaliser son efficacité et sa sécurité. Tout d'abord, l'arithmétique basée sur les tours de domaines binaires (towers of binary fields) constitue la base de ses calculs, permettant d'effectuer des opérations simplifiées dans le domaine binaire. Deuxièmement, Binius a adapté HyperPlonk pour le produit et la vérification de permutation dans son protocole de preuve Oracle interactif (PIOP), garantissant une vérification cohérente sécurisée et efficace entre les variables et leurs permutations. Troisièmement, le protocole introduit une nouvelle preuve de décalage multilinéraire, optimisant l'efficacité de la vérification des relations multilinéaires sur de petits domaines. Quatrièmement, Binius utilise une version améliorée de la preuve de recherche Lasso, offrant flexibilité et sécurité robuste pour le mécanisme de recherche. Enfin, le protocole utilise un schéma d'engagement polynomial sur de petits domaines (Small-Field PCS), lui permettant de réaliser un système de preuve efficace dans le domaine binaire, tout en réduisant les frais généralement associés aux grands domaines.

( 2.1 Domain fini : arithmétisation basée sur les tours de champs binaires

Les corps binaires en tour sont essentiels pour réaliser des calculs rapides et vérifiables, principalement en raison de deux aspects : le calcul efficace et l'arithmétique efficace. Les corps binaires soutiennent essentiellement des opérations arithmétiques très efficaces, ce qui en fait un choix idéal pour les applications cryptographiques sensibles aux performances. De plus, la structure des corps binaires soutient un processus d'arithmétisation simplifié, c'est-à-dire que les opérations effectuées sur les corps binaires peuvent être représentées sous une forme algébrique compacte et facile à vérifier. Ces caractéristiques, combinées à la capacité de tirer pleinement parti de ses caractéristiques hiérarchiques grâce à la structure de tour, font des corps binaires un choix particulièrement adapté pour des systèmes de preuve évolutifs comme Binius.

Le terme "canonical" fait référence à la représentation unique et directe des éléments dans un corps binaire. Par exemple, dans le corps binaire F2 le plus basique, toute chaîne de k bits peut être directement mappée à un élément de corps binaire de k bits. Cela diffère des corps premiers, qui ne peuvent pas fournir cette représentation canonique dans un nombre de bits donné. Bien qu'un corps premier de 32 bits puisse être contenu dans 32 bits, ce n'est pas le cas pour chaque chaîne de 32 bits qui peut correspondre de manière unique à un élément de corps, alors que le corps binaire offre cette commodité de mapping un à un. Dans le corps premier Fp, les méthodes de réduction courantes incluent la réduction de Barrett, la réduction de Montgomery, ainsi que des méthodes de réduction spéciales pour des corps finis spécifiques tels que Mersenne-31 ou Goldilocks-64. Dans le corps binaire F2k, les méthodes de réduction couramment utilisées incluent des réductions spéciales ) comme celles utilisées dans AES, des réductions de Montgomery ### comme celles utilisées dans POLYVAL et des réductions récursives ( comme Tower). L'article "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" souligne que dans un corps binaire, il n'est pas nécessaire d'introduire des retenues pour les opérations d'addition et de multiplication, et que l'opération de carré dans le corps binaire est très efficace, car elle suit la règle simplifiée (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Comme montré dans la figure 1, une chaîne de 128 bits : cette chaîne peut être interprétée de plusieurs manières dans le contexte des domaines binaires. Elle peut être considérée comme un élément unique dans un domaine binaire de 128 bits, ou être analysée comme deux éléments de domaine de tour de 64 bits, quatre éléments de domaine de tour de 32 bits, seize éléments de domaine de tour de 8 bits, ou 128 éléments de domaine F2. Cette flexibilité de représentation n'entraîne aucun coût de calcul, c'est simplement un typecast de la chaîne de bits (typecast), ce qui est une propriété très intéressante et utile. De plus, les petits éléments de domaine peuvent être regroupés en éléments de domaine plus grands sans coût de calcul supplémentaire. Le protocole Binius tire parti de cette caractéristique pour améliorer l'efficacité des calculs. En outre, le document "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explore la complexité de calcul des opérations de multiplication, de mise au carré et d'inversion dans un domaine binaire de tour de n bits ( pouvant être décomposé en sous-domaines de m bits ).

( 2.2 PIOP: version modifiée de HyperPlonk Product et PermutationCheck ------ applicable au domaine binaire

La conception de PIOP dans le protocole Binius s'inspire de HyperPlonk et utilise une série de mécanismes de vérification essentiels pour valider l'exactitude des polynômes et des ensembles multivariés. Ces vérifications essentielles comprennent :

1. GateCheck : vérifier si le témoignage confidentiel ω et l'entrée publique x satisfont la relation de calcul du circuit C)x, ω(=0, afin de garantir le bon fonctionnement du circuit.

2. PermutationCheck : Vérifie si les résultats d'évaluation des deux polynômes multivariables f et g sur le cube hyperbolique booléen sont une relation de permutation f)x### = f(π)x(), afin de garantir la cohérence des permutations entre les variables polynomiales.

3. LookupCheck : Vérifiez si l'évaluation du polynôme est dans la table de recherche donnée, c'est-à-dire f(Bµ( ⊆ T)Bµ), en veillant à ce que certaines valeurs soient dans la plage spécifiée.

4. MultisetCheck : vérifier si deux ensembles multivariables sont égaux, c'est-à-dire {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantissant la cohérence entre plusieurs ensembles.

5. ProductCheck : Vérifier si l'évaluation d'un polynôme rationnel sur le cube hyperbolique booléen est égale à une valeur déclarée ∏x∈Hµ f(x) = s, afin de garantir la correction du produit polynômial.

6. ZeroCheck : Vérifier si un polynôme multivarié à plusieurs variables est nul en un point arbitraire sur le cube hyperbolique booléen ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, afin d'assurer la répartition des zéros du polynôme.

7. SumCheck : vérifie si la somme d'un polynôme multivariable correspond à la valeur déclarée ∑x∈Hµ f(x) = s. En transformant le problème d'évaluation d'un polynôme multivariable en évaluation d'un polynôme à une variable, cela réduit la complexité de calcul pour le vérificateur. De plus, SumCheck permet le traitement par lots en introduisant des nombres aléatoires, construisant des combinaisons linéaires pour réaliser le traitement par lots de plusieurs instances de vérification de somme.

8. BatchCheck : basé sur SumCheck, vérifie l'exactitude de l'évaluation de plusieurs polynômes multivariables afin d'améliorer l'efficacité du protocole.

Bien que Binius et HyperPlonk aient de nombreuses similitudes dans la conception des protocoles, Binius apporte des améliorations dans les trois domaines suivants :

• Optimisation de ProductCheck : dans HyperPlonk, ProductCheck exige que le dénominateur U soit toujours non nul sur l'hypercube, et que le produit soit égal à une valeur spécifique ; Binius simplifie ce processus de vérification en spécialisant cette valeur à 1, réduisant ainsi la complexité de calcul.

• Gestion du problème de division par zéro : HyperPlonk n'a pas réussi à traiter correctement les cas de division par zéro, ce qui empêche d'affirmer que U est non nul sur l'hypercube ; Binius a correctement géré ce problème, même lorsque le dénominateur est zéro, le ProductCheck de Binius peut continuer à traiter, permettant une généralisation à n'importe quelle valeur de produit.

• Vérification de permutation inter-colonnes : HyperPlonk n'a pas cette fonctionnalité ; Binius prend en charge la vérification de permutation entre plusieurs colonnes, ce qui permet à Binius de gérer des cas d'agencement polynomial plus complexes.

Ainsi, Binius a amélioré la flexibilité et l'efficacité du protocole grâce à des améliorations du mécanisme PIOPSumCheck existant, offrant un meilleur support fonctionnel, en particulier lors du traitement de vérifications de polynômes multivariables plus complexes. Ces améliorations non seulement résolvent les limitations de HyperPlonk, mais jettent également les bases pour de futurs systèmes de preuves basés sur des domaines binaires.

( 2.3 PIOP : nouvel argument de décalage multilinéraire ------ applicable au hypercube booléen

Dans le protocole Binius, la construction et le traitement des polynômes virtuels sont l'une des technologies clés, permettant de générer et d'opérer efficacement des polynômes dérivés de poignées d'entrée ou d'autres polynômes virtuels. Voici deux méthodes clés :

• Packing: Cette méthode optimise l'opération en regroupant les plus petits éléments adjacents dans l'ordre du dictionnaire en éléments plus grands. L'opérateur Pack cible les blocs de taille 2κ et les combine en dimensions supérieures.